PENERAPAN MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI
Langkah-langkah pemecahan masalah maksimum-minimum.
1. Tetapkan besaran yang harus dimaksimalkan atau diminimalkan. Besaran ini biasanya dilambangkan dengan huruf agar kita dapat dengan mudah menuliskan model matematika.
2. Tentukan formula untuk model matematika dari masalah yang dihadapi.
3. Terapkan metode maksimum-minimum di interval tertutup.
4. Berikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh pada Langkah (3) yang disesuaikan dengan masalah semula agar ketelitian dari jawaban lebih akurat dan benar.
Contoh 1
Kelilingsuatu persegi panjang adalah 100 m. Tentukanlah ukuran persegi panjang itu agar luasnya maksimum!
Pembahasan:
Misalkan: lebar persegi panjang = x meter, Panjang persegi panjang = y meter
K = 2(p + l)
100 = 2(x + y)
50 = x + y (kedua ruas dibagi dengan 2)
y = 50 – x
Luas persegi panjang dalam m2 adalah
L(x) = y · x à y = 50 – x
L(x) = (50 – x) x
L(x) = 50x – x2
Luas maksimum
Syarat: L′(x) = 0 à L′(x) = 50 – 2x
50 – 2x = 0
2x = 50
x = 25
L(25) = 50 · 25 – 252
L(25) = 1250 – 625
L(25) = 625
Jadi luas maksimumnya adalah 625 m2 yang diperoleh jika lebarnya 25 m dan panjangnya 25 m.
Contoh 2
Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perhari =
juta rupiah. Tentukan total biaya proyek minimum!
Pembahasan:
Misalkan total biaya proyek = C(x), Maka
Turunan pertama: C′(x) = 4x – 40
Nilai minimum diperoleh saat C′(x) = 0
4x – 40 = 0
4x = 40
x = 10
Turunan kedua: C˝(x) = 4 > 0
Berarti total biaya proyek minimum = C(10), yaitu:
C(10) = 2(10)2 + 1.000 – 40(10)
C(x) = 100 + 1.000 – 400
C(x) = 800
Jadi, total biaya proyek minimum sebesar Rp800.000.000,00.
Contoh 3
Dua kandang berdampingan masing-masing berukuran x meter dan y meter serta luasnya 12m² seperti terlihat pada gambar di samping. Tentukan Panjang x dan y agar panjang pagar yang diperlukan sesedikit mungkin!
Pembahasan:
Luas satu kendang = x . y = 12 à y = 12/x
Misalkan Panjang pagar = f(x)
f(x) = 4x + 3y
f(x) = 4x + 36x-1
Syarat nilai minimum/maksimum: f′(x) = 0
f′(x) = 4 – 36x-2
4x2 = 36
x2 = 9
x = 3 atau x = -3 (tidak memenuhi)
f(3) = 12 + 12 = 24
Jadi x = 3 m dan y = 12/3 = 4 m dengan panjang pagar 24 m.
Penerapan masalah maksimum dan minimum fungsi