NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI
Prinsip dasar penentuan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi:
Diberikan y = f(x), f′(x), f˝(x) terdefinisi pada domain fungsi tersebut. tes turunan kedua fungsi itu sebagai berikut.
a. Jika f˝(x) > 0 saat f′(x) = 0, maka f(x) adalah nilai minimum fungsi f.
b. Jika f˝(x) < 0 saat f′(x) = 0, maka f(x) adalah nilai maksimum fungsi f.
c. Jika f˝(x) = 0 saat f′(x) = 0, berarti tes turunan kedua gagal dan harus menggunakan prinsip turunan pertama.
Contoh Soal 1
Tentukan nilai maksimum, nilai minimum , dan pembuat nilaimaksimum/minimum dari fungsi f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 7.
Pembahasan:
Diketahui: f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 7
Turunan pertama: f′(x) = 6x2 + 6x – 12
Pembuat nilai maksimum dan minimum.
Syarat: f′(x) = 0
6x2 + 6x – 12 = 0
x2 + x – 2 = 0 (kedua ruas dibagi 6)
(x + 2) (x – 1) = 0 (ruas kiri difaktorkan)
x + 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = -2 atau x = 1
Turunan kedua: f˝(x) = 12x + 6
Tes turunan kedua:
Untuk x = -2
f˝(-2) = 12(-2) + 6 = -24 + 6 = -18 < 0 (nilai maksimum fungsi)
Berarti nilai maksimum fungsi f adalah
f(-2) = 2 (-2)3 + 3(-2)2 – 12(-2) + 7
f(-2) = -16 + 12 + 24 + 7
f(-2) = 27 (nilai maksimum)
Tes turunan kedua:
Untuk x = 1
f˝(1) = 12(1) + 6 = 12 + 6 = 18 > 0 (nilai minimum fungsi)
Berarti nilai minimum fungsi f adalah
f(1) = 2 (1)3 + 3(1)2 – 12(1) + 7
f(1) = 2 + 3 – 12 + 7
f(1) = 0 (nilai minimum)
Jadi, nilai maksimum = 27 dan minimum = 0.
Contoh Soal 2
Diberikan kurva dengan persamaan y = 2 sin x + cos x, untuk x = 0 ≤ x ≤ 2ℼ. Tentukan nilai minimum atau maksimum fungsi tersebut.
Pembahasan:
Diketahui: y = 2 sin x + cos x
Turunan pertama: y′ = 2 cos x + (-sin x)
y′ = 2 cos x – sin x
Pembuat nilai maksimum/minimum.
Syarat: y′ = 0
2 cos x – sin x = 0
-sin x = – 2 cos x
sin x = 2 cos x
(sin x)/(cos x) = 2
tan x = 2
x = tan -1 (2) (di kuadran I dan III)
turunan kedua:
y˝ = -2 sin x – cos x
tes turunan kedua
tan x = 2 di kuadran I
y˝ = -2 sin x – cos x < 0 (maksimum)
