Berikut adalah latihan soal sistem persamaan linier tiga variabel.
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linier:
Pembahasan:
Misalkan:
Eliminasi persamaan (2) dan (3)
———————- +
…………….(4)
Eliminasi persamaan (1) dan (4)
Subtitusi nilai x = 2 ke persamaan (1)
subtitusi nilai x = 2 dan y = 1 ke persamaan (2)
Jadi, himpunan penyelesaian: Hp = {(2, 1, 1)}.
Latihan Soal Aplikasi SPLTV dalam kehidupan sehari-hari
2. Dengan metode campuran, tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linear :
Pembahasan :
Misalkan :
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
______________________ –
Eliminasi persamaan (2) dan (3)
2x + y + 3z = 1 dikalikan dengan 1
x + 2y – z = 7 dikalikan dengan 2
2x + y + 3z = 1
2x + 4y – 2z = 14
______________ –
-3y + 5z = -13 ………………………….(5)
Eliminasi persamaan (4) dan (5)
4y – z = 6 dikalikan dengan 5
-3y + 5z = -13 dikalikan dengan 1
20y – 5z = 30
-3y + 5z = -13
__________ +
17y = 17
y = 1
Subtitusi nilai y = 1 kepersamaan (4)
4 y – z = 6
4(1) – z = 6
4 – z = 6
z = -2
Subtitusi y = 1 dan z = -2 kepersamaan (3)
x + 2y – z = 7
x + 2( 1) – ( -2) = 7
x + 4 = 7
x = 3
Jadi, himpunan penyelesaian: Hp = {(3, 1, -2)}
Soal Penerapan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
3. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier :
Pembahasan:
dikalikan dengan 12
dikalikan dengan 6
dikalikan dengan 6
Misalkan: 2x – 3y – 3z = 2 ………………………………….(1)
2x + 3y – 6z = 20 ……………………………….(2)
6x + 9y + 2z = 36 ………………………………(3)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
2x – 3y – 3z = 2
2x + 3y – 6z = 20
_____________ –
–6y + 3z = -18 …………………………………………(4)
Eliminasi persamaan (1) dan (3)
2x – 3y – 3z = 2 dikalikan dengan 3
6x + 9y + 2z = 36 dikalikan dengan 1
6x – 9y – 9z = 6
6x + 9y + 2z = 36
_____________ –
-18y – 11z = -30 ………………………………………(5)
Eliminasi persamaan (4) dan (5)
–6y + 3z = -18 dikalikan dengan 3
-18y – 11z = -30 dikalikan dengan 1
–18y + 9z = -54
-18y – 11z = -30
_____________ –
20z = -24
z = -1,2
Subtitusi z = -1,2 ke persamaan (4)
–6y + 3z = -18
–6y + 3( -1,2) = -18
–6y – 3,6 = -18
–6y = -14,4
y= 2,4
Subtitusi y= 2,4 dan z = -1,2 ke persamaan (1)
2x – 3 y – 3 z = 2
2x – 3(2,4) – 3(-1,2) = 2
2x – 7,2 + 3,6 = 2
2x – 3,6 = 2
x = 2,8
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah Hp={(2,8 ; 2,4; -1,2)}
4. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linier:
Pembahasan:
Misalkan:
a + 2b + 2c = 2 …………………………………………………….(1)
3a – 4b + 2c = 3 …………………………………………………….(2)
a – 2b – 4c = 3 …………………………………………………….(3)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
a + 2b + 2c = 2 dikalikan dengan 3
3a – 4b + 2c = 3 dikalikan dengan 1
3a + 6b + 6c = 6
3a – 4b + 2c = 3
_____________ –
10b + 4c = 3 …………………………………………(4)
Eliminasi persamaan (1) dan (3)
a + 2b + 2c = 2
a – 2b – 4c = 3
_____________ –
4b + 6c = -1 ………………………………………….(5)
Eliminasi persamaan (4) dan (5)
10b + 4c = 3 dikalikan dengan 3
4b + 6c = -1 dikalikan dengan 2
30b + 12c = 9
8b + 12c = -2
_____________ –
22b = 11
b = 0,5
Subtitusi b = 0,5 ke persamaan (4)
10b + 4c = 3
10(0,5 ) + 4c = 3
5 + 4c =3
4c = -2
c = -0,5
Subtitusi b = 0,5 dan c = -0,5 ke persamaan (1)
a + 2b + 2c = 2
a + 2(0,5 )+ 2( -0,5) = 2
a + 1 – 1 = 2
a = 2
Dengan demikian, maka:
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah Hp={(1/2, 2, -2 )}
5. Tentukanlah penyelesaian sistem persamaan linier:
Pembahasan:
Misalkan:
xy + xz – yz = 3 …………………………………………………….(1)
xy – xz + yz = 1 …………………………………………………….(2)
xy – 2xz – yz = 6 …………………………………………………….(3)
Eliminasi persamaan (1) dan (2)
xy + xz – yz = 3
xy – xz + yz = 1
_____________ +
2xy = 4
xy = 2 → x = 2/y
Eliminasi persamaan (1) dan (3)
xy + xz – yz = 3
xy – 2xz – yz = 6
_____________ –
3xz = -3
xz = -1 → x =-1/z
Subtitusi xy = 2 dan xz = -1 ke persamaan (1)
xy + xz – yz = 3
2 + ( -1) – yz = 3
1 – yz = 3
yz = -2
z = -2/y
z = -x
z = -(-1/z)
z = 1/z
z^2 =1
z = 1 atau z = -1
xz =-1 → x (1) = -1 atau x (-1) = -1
x = -1 atau x = 1
yz =-2 → y (1) = -2 atau y (-1) = -2
y = -2 atau y = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah Hp = {(-1, -2, 1)} atau {(1, 2, -1)}